Question

在xOy坐標平面內，已知圓C過點A（1，1）和點B（1，5），且圓心C在直線2x+y-2=0上．
（1）求圓C的方程；
（2）求過點A且與圓C相切的直線方程；
（3）已知斜率為-1的直線l與圓C相交于P，Q兩點，且CP⊥CQ，試求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）求圓C的方程，關鍵是確定圓心的坐標及圓的半徑，根據圓心C在直線2x+y-2=0上，可確定圓心坐標，從而可解；
（2）先求CA斜率，再求切線方程；
（3）假設直線方程與圓方程聯立，利用CP⊥CQ，用向量的數量積為0，可求直線l的方程．

解答：解：（1）由題意，設圓心坐標為C（a，b），則
∵圓C過點A（1，1）和點B（1，5），
∴（a-1）²+（b-1）²=（a-1）²+（b-5）²
∴b=3
又圓心C在直線2x+y-2=0上．
∴2a+b-2=0，∴a=-

1

2

∴圓C的方程 (x+

1

2

)2+(y-3)2=

25

4

；
（2）kCA=

3-1

- 1 2 -1

=-

4

3

∴相切的直線方程斜率為

3

4

∴相切的直線方程為3x-4y+1=0
（3）設斜率為-1的直線l的方程為y=-x+b，代入圓的方程，化簡得2x²+（7-2b）x+b²+3=0
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則

CP

•

CQ

=x1x2+

1

2

(x1+x2)+y1y2-3(y1+y2)+

37

4

=0
∴2b²-5b=0
∴b=0或b=

5

2

∴所求方程為y=-x或y=-x+

5

2

，
經檢驗，符合題意．

點評：本題以圓為載體，考查直線與圓的位置關系，考查圓的標準方程，圓的切線方程，考查向量垂直條件的運用．