Question

【題目】已知拋物線 上的點 到焦點 的距離為 ．

（1）求 ， 的值；
（2）設 ， 是拋物線上分別位于 軸兩側的兩個動點，且 （其中 為坐標原點）．求證：直線 過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：由拋物線的定義得， ，解得 ，

所以拋物線的方程為 ，代入點 ，可解得

（2）解：設直線 的方程為 ， ， ，

聯立 消元得 ，則 ， ，

由 ，得 ，所以 或 （舍去），

即 ，即 ，所以直線 的方程為 ，

所以直線 過定點

【解析】(1)由題意結合拋物線上的點幾何意義可求出P的值，因為點T在拋物線上故把點的坐標滿足方程代入求解出t的值即可。(2)首先設出兩點的坐標聯立直線和拋物線方程消元得到關于x的方程，再借助韋達定理求出兩根之和與兩根之積的代數式，根據向量的數量積坐標公式解出 y 1y2 的值進而求出n的值故得出直線過定點。