Question

設函數f（x）=-4x+b，且不等式|f（x）|＜k的解集為{x|-1＜x＜2}．
（Ⅰ）求b，k的值；
（Ⅱ）證明：函數φ(x)=

4x

f(x)

的圖象關于點P(

1

2

，-1)對稱．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把絕對值不等式進行等價轉化，求出解集，將求出的解集和已知的解集作對比，列方程組解出b，k的值．
（Ⅱ）在φ（x）圖象上任取一點N（x_°，y_°），求出N（x_°，y_°）關于P(

1

2

，-1)的對稱點N′的坐標，證明N′的坐標仍然滿足函數φ（x）的解析式，即可證得結論成立．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=-4x+b，∴|f（x）|＜k可化為|-4x+b|＜k，∴

b-k

4

＜x＜

b+k

4

，
又|f（x）|＜k的解集為{x|-1＜x＜2}，∴

b-k 4 =-1 b+k 4 =2.

解得

b=2 k=6.

（6分）

證明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=-4x+2，∴φ(x)=

4x

f(x)

=

4x

-4x+2

=

2x

-2x+1

，
在φ（x）圖象上任取一點N（x_°，y_°），∴y°=

2x°

-2x°+1

．
設N（x_°，y_°）關于P(

1

2

，-1)的對稱點為N′，則N′（1-x_°，-2-y_°）．
∵φ(1-x°)=

2(1-x°)

-2(1-x°)+1

=

2(1-x°)

2x°-1

，
又-2-y°=-2-

2x°

-2x°+1

=

4x°-2-2x°

-2x°+1

=

2x°-2

1-2x°

=φ(1-x°)，

(x+1)2+y2

+

(x-1)2+y2

=4
∴N′（1-x_°，-2-y_°）在函數φ（x）圖象上，
∴函數φ(x)=

4x

f(x)

的圖象關于點P(

1

2

，-1)對稱．（13分）

點評：本題考查絕對值不等式的解法，證明函數圖象關于某個點對稱的方法：在函數的圖象上任取一點，證明此點關于某點的對稱點還在此函數的圖象上．