Question

已知函數(shù)．
(Ⅰ)若在上的最大值為，求實(shí)數(shù)的值；
(Ⅱ)若對(duì)任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(Ⅲ)在(Ⅰ)的條件下，設(shè)，對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線 上是否存在兩點(diǎn)，使得是以（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（Ⅰ）．（Ⅱ）．
（Ⅲ）對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線 上總存在兩點(diǎn)，，使得是以（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上．

試題分析：（Ⅰ）由，得，
令，得或．
當(dāng)變化時(shí)，及的變化如下表：

		-		+		-
		↘	極小值	↗	極大值	↘

由，，，
即最大值為，．                          4分
（Ⅱ）由，得．
，且等號(hào)不能同時(shí)取，，即 
恒成立，即．                     6分
令，求導(dǎo)得，，
當(dāng)時(shí)，，從而，
在上為增函數(shù)，，．          8分
（Ⅲ）由條件，，
假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)，滿足題意，則， 只能在軸兩側(cè)，
不妨設(shè)，則，且．
是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，，
    ，
是否存在，等價(jià)于方程在且時(shí)是否有解．            10分
①若時(shí)，方程為，化簡(jiǎn)得，此方程無(wú)解；
②若時(shí)，方程為，即，
設(shè)，則，
顯然，當(dāng)時(shí)，，
即在上為增函數(shù)，
的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013517264663.png" style="vertical-align:middle;" />，即，當(dāng)時(shí)，方程總有解．
對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線 上總存在兩點(diǎn)，，使得是以（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上．    14分
點(diǎn)評(píng)：難題，在給定區(qū)間，導(dǎo)數(shù)非負(fù)，函數(shù)為增函數(shù)，導(dǎo)數(shù)非正，函數(shù)為減函數(shù)。涉及“不等式恒成立”問(wèn)題，往往通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)加以解決。本題（III）需要分類討論，易于出錯(cuò)，是叫男的一道題目。