Question

【題目】已知函數， （為自然對數的底數）.

（1）若函數的圖象在處的切線方程為，求， 的值；

（2）若時，函數在內是增函數，求的取值范圍；

（3）當時，設函數的圖象與函數的圖象交于點、，過線段的中點作軸的垂線分別交、于點、，問是否存在點，使在處的切線與在處的切線平行？若存在，求出的橫坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）；（3）不存在.

【解析】試題分析：

(1)利用導函數與切線的關系得到方程，解方程可得， ；

(2)函數為增函數，則即在內恒成立，處理恒成立問題可得的取值范圍是；

(3) 假設在點處的切線與在點處的切線平行，則， ①，討論可得矛盾，假設不成立，

故在點處的切線與在點處的切線不平行.

試題解析：（1）當時， ，導數，

，

即函數的圖象在處的切線斜率為，切點為，

函數的圖象在處的切線方程為，

， ，

， ；

（2）時，函數在的解析式是，

導數，

函數在內是增函數，

即在內恒成立， ，

時， .

，故的取值范圍是；

（3）假設在點處的切線與在點處的切線平行，

設點， ， ，

則由題意得點、的橫坐標與中點的橫坐標相等，且為，

時， ， ，

在點處的切線斜率為，

由于兩切線平行，則，

即，則兩邊同乘以，得，

，

， ，

設，則， ①，

令， ，則，

， ， 在上單調遞增，

， ，這與①矛盾，假設不成立，

故在點處的切線與在點處的切線不平行.