Question

已知函數(shù)f（x）=ax+

b

x

+c（a＞0）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程為y=x-1．
（1）用a表示出b，c；
（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=1處的導(dǎo)數(shù)，從而求得切線(xiàn)的斜率，以及切點(diǎn)在函數(shù)f（x）的圖象上，建立方程組，解之即可；
（II）先構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-lnx=ax+

a-1

x

+1-2a-lnx，x∈[1，+∞），利用導(dǎo)數(shù)研究g（x）的最小值，討論a的范圍，分別進(jìn)行求解即可求出a的取值范圍．

解答：y解：（Ⅰ）f′(x)=a-

b

x2

，
則有

f(l)=a+b+c=0 f′(l)=a-b=1

，
解得

b=a-1 c=l-2a

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=ax+

a-1

x

+1-2a，
令g（x）=f（x）-lnx=ax+

a-1

x

+1-2a-lnx，x∈[1，+∞）
則g（l）=0，g′(x)=a-

a-1

x2

-

1

x

=

ax2-x-(a-1)

x2

=

a(x-1)(x- 1-a a )

x2

（i）當(dāng)o＜a＜

1

2

，

1-a

a

＞1
若1＜x＜

1-a

a

，則g′（x）＜0，g（x）是減函數(shù)，
所以g（x）＜g（l）=0，f（x）＞lnx，故f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒不成立．
（ii）a≥

1

2

時(shí)，

1-a

a

≤l
若f（x）＞lnx，故當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≥lnx
綜上所述，所求a的取值范圍為[

1

2

，+∞)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程，以及函數(shù)恒成立問(wèn)題等基礎(chǔ)題知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，分類(lèi)討論思想，屬于基礎(chǔ)題．