Question

函數f（x）=1-ax²（a＞0，x＞0），該函數圖象在點P（x₀，1-ax₀²） 處的切線為l，設切線l 分別交x 軸和y 軸于兩點M和N．
（1）將△MON （O 為坐標原點）的面積S 表示為x₀ 的函數S（x₀）；
（2）若在x₀=1處，S（x₀）取得最小值，求此時a的值及S（x₀）的最小值；
（3）若記M點的坐標為M（m，0），函數y=f（x） 的圖象與x軸交于點T（t，0），則m與t的大小關系如何？證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）根據道說的幾何意義可得函數圖象在點P（x₀，1-ax₀²） 處的切線的斜率為f^′（x₀）=-2ax₀再由點斜式寫出切線方程然后根據題意易得M，N的坐標再根據面積公式S△MON=

1

2

|oM||oN|即可得解．
（2）在第一問的基礎上可利用S′(x0)=

(3a x 2 0 -1)(a x 2 0 +1)

4ax0

=0判斷出s（x₀）的單調性然后根據單調性可得出S（x₀）的最小值以及取得最小值時a的值．
（3）求出t的值結合（1）得m=

1+ax02

2ax0

再結合t的值將m拆成和的形式在利用基本不等式進行放縮即可得解．

解答：解：（1）∵f（x）=1-ax²（a＞0，x＞0）
∴f^′（x）=-2ax
∴f^′（x₀）=-2ax₀
∴函數圖象在點P（x₀，1-ax₀²） 處的切線為y-（1-ax₀²）=-2ax₀（x-x₀）即y=-2ax₀x+1+ax₀²
∴M（

1+ax02

2ax0

，0），N（0.1+ax₀²）
∴S△MON=

1

2

|oM||oN|=

(1+ax02)2

4ax0

（2）令S′(x0)=

(3a x 2 0 -1)(a x 2 0 +1)

4ax0

=0
則x0=

1 3a

∴當0＜x₀＜

1 3a

時s^′（x₀）＜0則s（x₀）單調遞減
  當x0＞

1 3a

時s^′（x₀）＞0則s（x₀）單調遞增
∴當x0=

1 3a

=1 時，面積最小此時a=

1

3

，Smin=

4

3

 
（3）由題意知t=

1 a

又∵m=

1+ax02

2ax0

=

1

2ax0

+

x0

2

≥

1 2ax0 × x0 2

=

1 a

∴m≥t

點評：本題主要考查了導數的應用．解題的關鍵是第一問要知道在某一點出切線的斜率即為在這一點處的導數，而第二問要利用導數判斷函數S（x₀）的單調性進而求其最小值，第三問關鍵是將m拆成和的形式在利用基本不等式進行放縮．