Question

【題目】過(guò)點(diǎn)作已知直線的平行線，交雙曲線于點(diǎn).

（1）證明：Q是線段MN的中點(diǎn)；

（2）分別過(guò)點(diǎn)M、N作雙曲線的切線，證明：三條直線相交于同一點(diǎn)；

（3）設(shè)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作雙曲線的切線，切點(diǎn)分別為，證明：點(diǎn)Q在直線AB上.

Answer 1

【答案】（1）見解析；(2）見解析；（3）見解析.

【解析】

（1）直線MN的方程為.

代入雙曲線方程，得.

設(shè)、，則是方程的兩根，故.

于是，.

故是線段MN的中點(diǎn).

（2）雙曲線的過(guò)點(diǎn)M、N的切線方程分別為

，.

兩式相加并將，代入得.

這說(shuō)明，直線的交點(diǎn)在直線上，即三直線相交于同一點(diǎn).

（3）設(shè)、、，則PA、PB的方程分別為

和.

因?yàn)辄c(diǎn)P在兩條直線上，所以，

，

這表明，點(diǎn)A、B都在直線上，即直線AB的方程為.

又，代入整理得

顯然，無(wú)論取什么值（即無(wú)論P為直線l上哪一點(diǎn)），點(diǎn)Q（-1，-1）都在直線AB上.