Question

已知橢圓C的中心為直角坐標系xOy的原點，焦點在x軸上，它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1
（1）求橢圓C的方程；
（2）若P為橢圓C的動點，M為過P且垂直于x軸的直線上的點，

OP

|OM|

=e，e為橢圓C的離心率，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

Answer 1

分析：（1）根據題意，橢圓的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1，分析可得這個頂點是長軸的端點，則有a+c=7，a-c=1；解可得ac的值，進而可得b的值，即可得答案；
（2）設M（x，y），P（x，y₁ ），根據橢圓的方程為

x2

16

+

y2

7

=1且P在橢圓上，可得e的值與y₁²=

7(16-x2)

16

①；根據題意，有

x2+ y   2 1

x2+y2

=e²=

9

16

②；聯立①②化簡可得答案．

解答：解：（1）根據題意，橢圓的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1，
則這個頂點不會是短軸的端點，而是長軸的端點，
則有a+c=7，a-c=1；
解可得a=4，c=3；
則b=

7

；
故橢圓的方程為

x2

16

+

y2

7

=1；
（2）設M（x，y），P（x，y₁ ），
橢圓的方程為

x2

16

+

y2

7

=1中，e=

c

a

=

3

4

；
又由橢圓方程為

x2

16

+

y2

7

=1，且P在橢圓上，即y₁²=

7(16-x2)

16

①；
根據題意得

x2+ y   2 1

x2+y2

=e²=

9

16

②；
①②聯立化簡可得，y²=

112

9

；
即y=±

4 7

3

，（-4≤x≤4）
其軌跡是兩條平行于x軸的線段．

點評：本題考查橢圓的性質與軌跡的求法，實際是橢圓的綜合題目，注意軌跡方程的求法步驟，尤其是軌跡與軌跡方程的區別與聯系．