Question

已知a＞0且滿足不等式2^2a+1＞2^5a-2．
（1）求實數a的取值范圍．  
（2）求不等式loga(3x+1)＜loga(7-5x) ．
（3）若函數y=log_a（2x-1）在區間[1，3]有最小值為-2，求實數a值．

Answer 1

分析：（1）根據指數函數的單調性解不等式即可求實數a的取值范圍．  
（2）根據對數函數的單調性求不等式loga(3x+1)＜loga(7-5x) ．
（3）根據復合函數的單調性以及對數的性質即可求出a的值．

解答：解：（1）∵2^2a+1＞2^5a-2．
∴2a+1＞5a-2，即3a＜3，
∴a＜1．
（2）∵a＞0，a＜1，∴0＜a＜1，
∵loga(3x+1)＜loga(7-5x) ．
∴等價為

3x+1＞0 7-5x＞0 3x+1＞7-5x

，
即

x＞- 1 3 x＜ 7 5 x＞ 3 4

，
∴

3

4

＜x＜

7

5

，
即不等式的解集為（

3

4

，

7

5

）．
（3）∵0＜a＜1，
∴函數y=log_a（2x-1）在區間[1，3]上為減函數，
∴當x=3時，y有最小值為-2，
即log_a5=-2，
∴a-2=

1

a2

=5，
解得a=

5

5

．

點評：本題主要考查不等式的解法，利用指數函數和對數函數的單調性是解決本題的關鍵．