Question

【題目】已知函數 的最小值為m．
（1）求m的值；
（2）若a，b，c是正實數，且a+b+c=m，求證：2（a3+b3+c3）≥ab+bc+ca﹣3abc．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據題意，函數 = ，

分析可得f（x）min=f（ ）=1，

即m=1；

（2）解：證明：由（1）可得a+b+c=1，

由于（a3+b3）﹣a2b﹣ab2=（a2﹣b2）（a﹣b）=（a﹣b）2（a+b），

又由a，b，c是正實數，

則有（a3+b3）﹣a2b﹣ab2=（a﹣b）2（a+b）≥0，

即a3+b3≥a2b+ab2=ab（a+b）=ab（1﹣c）=ab﹣abc，①

同理可得：b3+c3≥bc﹣abc，②

a3+c3≥ac﹣abc，③

①+②+③可得：2（a3+b3+c3）≥ab+bc+ca﹣3abc

【解析】（1）根據題意，將f（x）的解析式寫成分段函數的形式可得f（x）= ，結合函數的單調性分析可得f（x）min=f（ ）=1，即可得m的值；（2）先用作差法證明a3+b3≥a2b+ab2 ， 再結合基本不等式分析可得a3+b3≥a2b+ab2=ab（a+b）=ab（1﹣c）=ab﹣abc，①；同理可以證明b3+c3≥bc﹣abc，②和a3+c3≥ac﹣abc，②；將三個式子相加即可得答案．
【考點精析】認真審題，首先需要了解不等式的證明(不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等)．