Question

下列曲線的所有切線構成的集合中，存在無數對互相垂直的切線的曲線是

1. A.
   f（x）=e^x
2. B.
   f（x）=x³
3. C.
   f（x）=lnx
4. D.
   f（x）=sinx

Answer 1

D
分析：設出切點坐標，利用曲線在切點處的導數值是曲線的切線斜率，將存在無數對互相垂直的切線轉化為f′（x₁）•f′（x₂）=-1有無數對x₁，x₂使之成立；對四個選項的函數判斷是否符合．
解答：設切點的橫坐標為x₁，x₂
則存在無數對互相垂直的切線，即f′（x₁）•f′（x₂）=-1有無數對x₁，x₂使之成立
對于A由f′（x）=e^x＞0，
所以不存在f′（x₁）•f′（x₂）=-1成立；
對于B由于f′（x）=3x²＞0，
所以也不存在f′（x₁）•f′（x₂）=-1成立；
對于C由于f（x）=lnx的定義域為（0，+∞），
∴f′（x）=＞0，
對于Df′（x）=cosx，
∴f′（x₁）•f′（x₂）=cosx₁•cosx₂，
當x₁=2kπ，x₂=（2k+1）π，k∈Z，
f′（x₁）•f′（x₂）=-1恒成立．
故選D
點評：本題考查導數的幾何意義：曲線在切點處的導數值是曲線的切線斜率；等價轉化的能力．