Question

已知球O在一個棱長為2

3

的正四面體內，如果球O是該正四面體的最大球，那么球O的表面積等于（　　）

• A、4

  3

  π
• B、

  4 3 π

  3

• C、2π
• D、

  2π

  3

Answer 1

分析：已知球O在一個棱長為2

3

的正四面體內，如果球O是該正四面體的最大球，那么球O與此正四面體的四個面相切，即球心到四個面的距離都是半徑，由等體積法求出球的半徑，再由公式求體積

解答：解：由題意，此時的球與正四面體相切，
由于棱長為2

3

的正四面體，故四個面的面積都是

1

2

×2

3

×2

3

sin∠60°=3

3

又頂點到底面的投影在底面的中心，此點到底面三個頂點的距離都是高的

2

3

，又高為2

3?

sin∠60°=3，故底面中心到底面頂點的距離都是2
由此知頂點到底面的距離是

(2 3 )2-22

=2

2

此正四面體的體積是

1

3

×2

2

×3

3

=2

6

又此正四面體的體積是

1

3

×r×3

3

×4，故有r=

2 6

4 3

=

2

2

球O的表面積等于4×π×(

2

2

)2=2π
故選C

點評：本題考查球的體積和表面積，解答本題關鍵是理解球O是該正四面體的最大球，從中得出此時球是正四面體的內切球，從而聯想到用等體積法求出球的半徑，熟練掌握正四面體的體積公式及球的表面積公式是正確解題的知識保證．