Question

設集合M是滿足下列條件的函數f（x）的集合：①f（x）的定義域為R；②存在a＜b，使f（x）在（-∞，a），（b，+∞）上分別單調遞增，在（a，b）上單調遞減．
（I）設f₁（x）=x•|x-2|，f₂（x）=x³-3x²+3x，判斷f₁（x），f₂（x）是否在集合M中，并說明理由；
（II）求證：對任意的實數t，f（x）=

-x+t

x2+1

都在集合M中；
（Ⅲ）是否存在可導函數f（x），使得f（x）與g（x）=f'（x）-x都在集合M中，并且有相同的單調區間？請說明理由．

Answer 1

分析：（I）對于函數f₁（x）=

x(x-2)，x≥2  x(2-x)，x＜2

，結合函數的圖象可知f₁（x）∈M；由于f₂′（x）=3（x-1）²≥0，則f₂（x）∉M；
（II）按照集合M滿足的條件只需證明兩條：①在定義域為R；②存在a＜b，使f（x）在（-∞，a），（b，+∞）上分別單調遞增，在（a，b）上單調遞減；
（Ⅲ）假設存在滿足條件的可導函數f（x），驗證f（x）與g（x）=f′（x）-x是否有相同的單調區間即可．

解答：解：（I）對于函數f₁（x）=

x(x-2)，x≥2  x(2-x)，x＜2

，滿足：①f（x）定義域R，②f（x）在（-∞，1），（2，+∞）內單調遞增，在（1，2）內單調遞減，故f₁（x）∈M；
對于函數f₂（x）=x³-3x²+3x，由于f₂′（x）=3x²-6x+3=3（x-1）²≥0，
故f₂（x）=x³-3x²+3x在R上為增函數，故f₂（x）∉M；
（II）證明：由題意知，f(x)=

-x+t

x2+1

的定義域為R，且f′(x)=

x2-2tx-1

(x2+1)2

由于h（x）=x²-2tx-1的△=（-2t）²-4×1×（-1）=4t²+4＞0恒成立，
故f′(x)=

x2-2tx-1

(x2+1)2

恒有兩個零點，即f(x)=

-x+t

x2+1

滿足：存在a＜b，使f（x）在（-∞，a），（b，+∞）上分別單調遞增，在（a，b）上單調遞減
故對任意的實數t，f（x）=

-x+t

x2+1

都在集合M中；
（Ⅲ）假設存在可導函數f（x），使得f（x）與g（x）=f'（x）-x都在集合M中，
則f（x）在（-∞，a），（b，+∞）上分別單調遞增，在（a，b）上單調遞減，故f'（x）＜0的解集是（a，b）
則g（x）=f'（x）-x=（x-a）（x-b）-x為二次函數不滿足：存在a＜b，使f（x）在（-∞，a），（b，+∞）上分別單調遞增，在（a，b）上單調遞減，
故不存在可導函數f（x），使得f（x）與g（x）=f'（x）-x都在集合M中，并且有相同的單調區間．

點評：本題考查新定義，考查導數知識的運用，解題的關鍵是理解新定義，屬于中檔題．