Question

已知f(x)＝(x∈R)，在區間[－1，1]上是增函數．

(1)求實數a的值組成的集合A；

(2)設關于x的方程f(x)＝的兩個非零實根為x₁、x₂，試問：是否存在實數m，使得不等式m²＋tm＋1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)(x)＝＝，∵f(x)在[－1，1]上是增函數，∴(x)≥0對x∈[－1，1]恒成立，即x2－ax－2≤0對x∈[－1，1]恒成立．①設(x)＝x2－ax－2， 　　方法一： 　　①－1≤a≤1，∵對x∈[－1，1]，f(x)是連續函數，且只有當a＝1時， 　　(－1)＝0以及當a＝－1時，(1)＝0∴A＝{a|－1≤a≤1}． 　　方法二： 　　①　　或 　　∵對x∈[－1，1]，f(x)是連續函數，且只有當a＝1時，(－1)＝0以及當a＝－1時，(1)＝0 　　∴A＝{a|－1≤a≤1}． 　　(Ⅱ)由＝，得x2－ax－2＝0，∵△＝a2＋8＞0∴x1，x2是方程x2－ax－2＝0的兩非零實根， 　　 　　x1x2＝－2，②設g(t)＝m2＋tm－2＝mt＋(m2－2)， 　　方法一： 　　② 　　方法二： 　　當m＝0時，②顯然不成立；當m≠0時， 　　② 　　所以，存在實數m，使不等式m2＋tm＋1≥|x1－x2|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2