Question

（本小題滿(mǎn)分10分）

在正方體中，E,F分別是CD，A1D1中點(diǎn)
（1）求證：AB1⊥BF；
（2）求證：AE⊥BF；
（3）棱CC1上是否存在點(diǎn)P，使BF⊥平面AEP，若存在，
確定點(diǎn)P的位置；若不存在，說(shuō)明理由

Answer 1

(1)略
(2)略
(3)存在

解：（1）證明：連結(jié)A1B,CD1 ∵AB1⊥A1B, AB1⊥BC,A1B∩BC=B ∴AB1⊥平面A1BCD1 , 又BF平面A1BCD1 ,所以AB1⊥BF
(2) 證明：取AD中點(diǎn)M，連結(jié)FM，BM             
∵ABCD為正方形，E,M分別為所在棱的中點(diǎn)，
∴AE⊥BM，又∵FM⊥AE，BM∩FM="M,             "
∴AE⊥平面BFM， 又BF平面BFM，∴AE⊥BF
(3) 存在，P是CC1的中點(diǎn)，則易證PE∥AB1，故A,B1,E,P四點(diǎn)共面
證明：由（1）（2）知AB1⊥BF，AE⊥BF，AB1∩AE=A，∴BF⊥平面AEB1，       
即BF⊥平面AEP