Question

觀察下列三角形數表
假設第n行的第二個數為a_n（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）依次寫出第六行的所有6個數字；
（Ⅱ）歸納出a_n+1與a_n的關系式并求出a_n的通項公式；
（Ⅲ）設a_nb_n=1，求證：b₂+b₃+…+b_n＜2．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據三角形數表，兩側數為從1開始的自然數列，中間的數從第三行起，每一個數等于它兩肩上的數之和的規律寫出來．
（II）依據“中間的數從第三行起，每一個數等于它兩肩上的數之和”則第二個數等于上一行第一個數與第二個數的和，即有a_n+1=a_n+n（n≥2），再由累加法求解．
（III）由a_nb_n=1，解得再由裂項相消法證明．
解答：解：（I）第六行的所有6個數字分別是
6，16，25，25，16，6；（2分）
（II）依題意a_n+1=a_n+n（n≥2），
a₂=2a_n=a₂+（a₃-a₂）+（a₄-a₃）++（a_n-a_n-1）
=，
所以；
（III）因為a_nb_n=1，所以（12分）=．（15分）
點評：本題通過三角數表構造了一系列數列，考查了數列的通項及求和的方法，還考查了數列間的關系，入題較難，知識點，方法活，屬中檔題．