Question

【題目】若函數f（x）滿足下列條件：在定義域內存在x0 ， 使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，則稱函數f（x）具有性質M；反之，若x0不存在，則稱函數f（x）不具有性質M．
（1）證明：函數f（x）=2x具有性質M，并求出對應的x0的值；
（2）已知函數 具有性質M，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：f（x）=2x代入f（x0+1）=f（x0）+f（1）得：

，

即： ，解得x0=1．

所以函數f（x）=2x具有性質M．

（2）解：h（x）的定義域為R，且可得a＞0．

因為h（x）具有性質M，所以存在x0，

使h（x0+1）=h（x0）+h（1），

代入得： ．

化為2（x02+1）=a（x0+1）2+a，

整理得：（a﹣2）x02+2ax0+2a﹣2=0有實根．

①若a=2，得 ．

②若a≠2，得△≥0，即a2﹣6a+4≤0，解得：a ，

所以：a ．

綜上可得a ．

【解析】1、由題設條件可以 得 到,x0=1．由此可得性質成立。
2、具有性質M的函數h(x)滿足,整理得到關于的方程，討論a的取值注意討論二次項系數是否為零的情況。
【考點精析】認真審題，首先需要了解對數的運算性質(①加法：②減法：③數乘：④⑤)．