Question

(本小題滿分14分)

將數列中的所有項按每一行比上一行多一項的規則排成如下數表：

 

    

      

………………………

記表中的第一列數構成的數列為，．為數列的前項和，且滿足．

（1）證明：；

（2）求數列的通項公式；

（3）上表中，若從第三行起，每一行中的數按從左到右的順序均構成等比數列，且公比為同一個正數．當時，求上表中第行所有項的和．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：由已知，當時，，，

所以，   即，     -----------2分

所以  ．                                              ------------3分

（2）又．                                            ------------4分

由（1）可知，數列是首項為1，公差為的等差數列．            ------------5分

所以 ，

即．                                                     ------------6分

所以當時，．                -----------7分

因此                                        -------------8分

（3）解：設上表中從第三行起，每行的公比都為，且．

因為，                                 ------------9分

所以表中第1行至第13行共含有數列的前91項，

故在表中第14行第三列，                                         ------------10分

因此．                                           ------------11分

又，

所以．                                                        ------------12分

記表中第行所有項的和為，

則．          -----------14分

 

【解析】略