Question

設等差數列的前項和為，且，．數列的前項和為，滿足．

（1）求數列的通項公式；

（2）寫出一個正整數，使得是數列的項；

（3）設數列的通項公式為，問：是否存在正整數和（），使得，，成等差數列？若存在，請求出所有符合條件的有序整數對；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）設數列的首項為，公差為，由已知，有

解得，，

所以的通項公式為（）．

（2）當時，，所以

由，得，兩式相減，得，

故，……（2分）

所以，是首項為，公比為的等比數列，所以．

，

要使是中的項，只要即可，可取．

（只要寫出一個的值就給分，寫出，，也給分）

（3）由（1）知，，

要使，，成等差數列，必須，即

，

化簡得．

因為與都是正整數，所以只能取，，．

當時，；當時，；當時，

綜上可知，存在符合條件的正整數和，所有符合條件的有序整數對為：

，，．