Question

已知，不等式的解集為.
（1）求的值；
（2）若對一切實數恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）2；（2）.

解析試題分析：（1）我們首先求出不等式的解集，這個解集與相等，由此可求得；（2），一種方法，這個函數是分段函數，我們把它化為一般的分段函數表達式，以便求出它的最大(小)值，從而求得的最大值，得到的取值范圍，也可應用絕對值不等式的性質，求得最大值.
試題解析：解法一：（1）由不等式｜2x－a｜－a≤2，得｜2x－a｜≤2＋a，
∵解集不空，∴2＋a≥0.
解不等式可得{x∣－1≤x≤1＋a}.               3分
∵－1≤x≤3，∴1＋a﹦3，即a=2.            5分
（2）記g(x)=f(x)－f(x＋2)=｜2x－2｜－｜2x＋2｜，       6分
4,（x≤－1）
則g(x)=－4x,（-1﹤x﹤1）.               8分
-4,（x≥1）
所以-4≤g(x)≤4，∴｜g(x)｜≤4,因此m≥4.     10分
解法二：∵f(x)－f(x＋2)=｜2x－2｜－｜2x＋2｜，
∵｜2x－2｜－｜2x＋2｜≤｜(2x－2)－(2x＋2)｜=4.     7分
｜2x－2｜－｜2x＋2｜≥｜2x｜－2－（｜2x｜＋2）=－4.  9分
∴－4≤｜2x－2｜－｜2x＋2｜≤4.
∴｜f(x)－f(x＋2)｜≤4.
∴m≥4.                   10分
考點：(1)解絕對值不等式；(2)分段函數的最值，不等式恒成立問題.