Question

【題目】已知函數F（x）=g（x）+h（x）=ex ， 且g（x），h（x）分別是R上的偶函數和奇函數，若對任意的x∈（0，+∞），不等式g（2x）≥ah（x）恒成立，則實數a的取值范圍是（ ）
A.（﹣∞，2 ]
B.（﹣∞，2 ）
C.（﹣∞，2]
D.（﹣∞，2）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵函數F（x）=ex滿足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分別是R上的偶函數和奇函數，
∴g（﹣x）=g（x），h（﹣x）=﹣h（x）
∴ex =g（x）+h（x），e﹣x=g（x）﹣h（x），
∴g（x）= ，h（x）= ．
∵x∈（0，+∞），使得不等式g（2x）≥ah（x）恒成立，即 ≥a 恒成立，
∴a≤ =（ex﹣e﹣x）+ ，
設t=ex﹣e﹣x ， 則函數t=ex﹣e﹣x在（0，+∞）上單調遞增，
∴0＜t，
此時 不等式t+ ≥2 ，當且僅當t= ，即t= 時，取等號，∴a≤2 ，
故選：A．
【考點精析】通過靈活運用函數奇偶性的性質，掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇即可以解答此題．