Question

【題目】已知橢圓C1：（a＞b＞0）與雙曲線 C2：x2﹣有公共的焦點，C2的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A，B兩點，若C1恰好將線段AB三等分，則橢圓C1的離心率為 （　　）

A. e2＝ B. e2＝ C. e2＝ D. e2＝

Answer 1

【答案】A

【解析】

根據雙曲線方程，確定一條漸近線為y＝2x，可得AB＝2a且AB為題中圓的直徑．由橢圓與雙曲線有公共焦點，可得a2﹣b2＝5．設C1與y＝2x在第一象限的交點為C（m，2m），代入C1解出m2＝．再由對稱性知直線y＝2x被C1截得的弦長CD＝2m，根據C1恰好將線段AB三等分解出m＝，聯解可得a2、b2、c2的值，結合離心率的公式加以計算，可得答案．

由題意，C2的焦點為（±，0），一條漸近線方程為y＝2x，

根據對稱性可知以C1的長軸為直徑的圓交y＝2x于A、B兩點，滿足AB為圓的直徑且AB＝2a

∵橢圓C1與雙曲線C2有公共的焦點，

∴C1的半焦距c＝，可得a2﹣b2＝5，…①

設C1與y＝2x在第一象限的交點的坐標為C（m，2m），

代入C1的方程，解得m2＝，…②

由對稱性可得直線y＝2x被C1截得的弦長CD＝2m，

結合題意得2m＝，可得m＝，…③

由②③聯解，得a2＝11b2…④

再聯解①④，可得a2＝5.5，b2＝0.5，得c2＝a2﹣b2＝5．

∴橢圓C1的離心率e滿足e2＝＝．

故選：A．