Question

【題目】設(shè)函數(shù),其中.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)性;

（Ⅱ）若函數(shù)僅在處有極值,求的取值范圍;

（Ⅲ）若對(duì)于任意的,不等式上恒成立,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)在,內(nèi)是增函數(shù),在,內(nèi)是減函數(shù).(2);(3).

【解析】

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，解不等式和得到的增區(qū)間和減區(qū)間.

（Ⅱ），因僅在取極值，故恒成立，故可得的取值范圍.

（Ⅲ）由可知恒成立，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知，故由可得的取值范圍.

（Ⅰ）.

當(dāng)時(shí),

.

令,解得,,.

當(dāng)變化時(shí),,的變化情況如下表:

	↘	極小值	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以在,內(nèi)是增函數(shù),在,內(nèi)是減函數(shù).

（Ⅱ）,顯然不是方程的根.

為使僅在處有極值,必須恒成立,即有.

解此不等式,得.這時(shí),是唯一極值.

因此滿足條件的的取值范圍是

（Ⅲ）由條件可知,從而恒成立.

當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.

因此函數(shù)在上的最大值是與兩者中的較大者.

為使對(duì)任意的不等式在上恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)

即

在上恒成立,

所以,因此滿足條件的的取值范圍是