Question

如圖，在三棱柱中，．

（1）求證：；
（2）若 ，在棱上確定一點P， 使二面角的平面角的余弦值為．

Answer 1

（1）詳見解析; （2）P為棱的中點.

解析試題分析：（1）要證，可轉(zhuǎn)化為去證明垂直于含有的平面，再由題中所給線面垂直，結(jié)合面面垂直的判定定理，可以判斷得出，最后結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理，由題中所給線線垂直，可以得到，進(jìn)而不難證得;（2）由題意可知點處可以構(gòu)造出三條線兩兩垂直，故可選擇以點為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，這樣圖中的坐標(biāo)，由點在線段上，可轉(zhuǎn)化為從而用一個變量表示出點的坐標(biāo)，求出這兩個平面的法向量，運(yùn)用向量數(shù)量積公式可計算出這兩個法向量的夾角的余弦值，并由此而求出的值，從而確定出點的位置．
試題解析：（1）在三棱柱中，因為，平面，所以平面平面，                 （2分）
因為平面平面，，所以平面，所以. （4分）
（2）設(shè)平面的一個法向量為，因為，，
即所以
令得，                    （10分）
而平面的一個法向量是，
則，解得，即P為棱的中點. （12分）
考點：1.線線，線面和面面垂直;2.二面角的處理落實