Question

【題目】在平面直角坐標系內，已知點，圓的方程為，點是圓上任意一點，線段的垂直平分線和直線相交于點.

（1）當點在圓上運動時，求點的軌跡方程；

（2）過點能否作一條直線，與點的軌跡交于兩點，且點為線段的中點？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）能，.

【解析】

（1）由題意，.由橢圓的定義可得的軌跡方程；

（2）當直線的斜率不存在時，不符合題意. 當直線的斜率存在時，設直線的方程為，代入的軌跡方程. 設點，由點為線段的中點，可得，可求，即求直線的方程.

（1）連接，由題意，.

又點在圓內，.

根據橢圓的定義，點的軌跡是以為焦點，4為實軸長的橢圓.

其中，，，

所以的軌跡方程為.

（2）易知當直線的斜率不存在時，不符合題意.

設經過點的直線的方程為，即

把代入軌跡方程，

得

設點，則，解得

此時方程為，方程根的判別式為，所以方程有實數解.

所以直線的方程為.