Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知雙曲線.

（1）過曲線的左頂點作的兩條漸近線的平行線，求這兩組平行線圍成的平行四邊形的面積；

（2）設斜率為的直線交曲線于、兩點，若與圓相切，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求出雙曲線的左頂點的坐標和漸近線方程，求出過曲線的左頂點作的漸近線的平行線方程，求出直線與直線的交點坐標，進而可求得由這兩組平行線圍成的平行四邊形的面積；

（2）設直線的方程為，設點、，由直線與圓相切得出，再將直線的方程與雙曲線的方程聯立，列出韋達定理，利用平面向量數量積的坐標運算和韋達定理，計算出，由此能證明出.

（1）左頂點，漸近線方程為，

過點與漸近線平行的直線方程為，即.

解方程組，得，

因此，所求平行四邊形的面積；

（2）設直線的方程為，設點、，

因直線與圓相切，故，即.

由，得.

由韋達定理得，，

，

因此，.