Question

（實驗班必做題）
（1）

1

2sin170°

-2sin70°=

 

；
（2）若

π

4

＜x＜

π

2，

則函數y=tan2xtan³x的最大值為

 

；
（3）已知f（x）=2sin（x+

θ

2

）cos（x+

θ

2

）+2

3

cos²（x+

θ

2

）-

3

，若0≤θ≤π，使函數f（x）為偶函數的θ為

 

A、

π

6

   B、

π

4

   C、

π

3

    D、

π

2

．

Answer 1

分析：（1）通分母，積化和差化簡sin70°sin10°，再利用誘導公式，約分得出結果；
（2）利用二倍角公式，轉化成關于tanx的函數，將tanx看成整體，最后轉化成函數的最值問題解決；
（3）利用二倍角的正弦函數公式、余弦函數公式化簡，合并整理后，再利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，把函數解析式中的x化為-x，確定出f（-x）的解析式，根據偶函數的性質f（-x）=f（x），列出關系式，利用正弦函數的奇偶性以及兩角和與差的正弦函數公式化簡，整理后可得cos（θ+

π

3

）=0，根據θ的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出滿足題意θ的度數．

解答：解：（1）

1

2sin170°

-2sin70°=

1-4sin10°sin70°

2sin10°

=

1+2[cos(10°+70°)-cos(10°-70°)]

2sin10°

=1；
（2）令tanx=t，∵

π

4

＜x＜

π

2

，∴t＞1，
∴y=tan2xtan³x=

2t4

1-t2

=

2

1 t4 - 1 t2

=

2

( 1 t2 - 1 2 )2- 1 4

≤

2

- 1 4

=-8
∴函數y=tan2xtan³x的最大值為-8；
（3）解：（1）f（x）=sin（2x+θ）+2

3

×

1+cos(2x+θ)

2

-

3

=sin（2x+θ）+

3

cos（2x+θ）=2sin（2x+θ+

π

3

）；
要使f （x）為偶函數，則必有f（-x）=f（x），
∴2sin（-2x+θ+

π

3

）=2sin（2x+θ+

π

3

），即-sin[2x-（θ+

π

3

）]=sin（2x+θ+

π

3

），
整理得：-sin2xcos（θ+

π

3

）+cos2xsin（θ+

π

3

）=sin2xcos（θ+

π

3

）+cos2xsin（θ+

π

3

）
即2sin2xcos（θ+

π

3

）=0對x∈R恒成立，
∴cos（θ+

π

3

）=0，
又0≤θ≤π，則θ=

π

6

故答案為：1，-8，A．

點評：本題考查三角函數知識，考查函數的性質，考查學生解決問題的能力，綜合性強．