Question

（本題滿分16分）本題共3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分.
在平面直角坐標系中，對于直線：和點記若<0，則稱點被直線分隔.若曲線C與直線沒有公共點，且曲線C上存在點被直線分隔，則稱直線為曲線C的一條分隔線.
⑴求證：點被直線分隔；
⑵若直線是曲線的分隔線，求實數的取值范圍；
⑶動點M到點的距離與到軸的距離之積為1，設點M的軌跡為E，求證：通過原點的直線中，有且僅有一條直線是E的分割線.

Answer 1

(1)證明見解析；（2）；（3）證明見解析.

試題分析：本題屬于新定義問題，（1）我們只要利用題設定義求出的值，若，則結論就可得證；（2）直線是曲線的分隔線，首先直線與曲線無交點，即直線方程與曲線方程聯立方程組，方程組應無實解，方程組變形為，此方程就無實解，注意分類討論，按二次項系數為0和不為0分類，然后在曲線上找到兩點位于直線的兩側．則可得到所求范圍；（3）首先求出軌跡的方程，化簡為，過原點的直線中，當斜率存在時設其方程為，然后解方程組，變形為，這個方程有無實數解，直接判斷不方便，可轉化為判斷函數與的圖象有無交點，而這可利用函數圖象直接判斷．是開口方向向上的二次函數，是冪函數，其圖象一定有交點，因此直線不是的分隔線，過原點的直線還有一條就是，它顯然與曲線無交點，又曲線上兩點一定在直線兩側，故它是分隔線，結論得證．
試題解析：（1）由題得，，∴被直線分隔.
（2）由題得，直線與曲線無交點
即無解
∴或，∴.
又對任意的，點和在曲線上，滿足，被直線分隔，所以所求的范圍是．
（3）由題得，設，∴，
化簡得，點的軌跡方程為
①當過原點的直線斜率存在時，設方程為.
聯立方程，.
令，因為，
所以方程有實解，直線與曲線有交點．直線不是曲線的分隔線．
②當過原點的直線斜率不存在時，其方程為.
顯然與曲線沒有交點，又曲線上的兩點對于直線滿足，即點被直線分隔．所以直線是分隔線．
綜上所述，僅存在一條直線是的分割線.
【考點】新定義，直線與曲線的公共點問題.