Question

已知球O的表面積為12π．
（1）求球O的半徑；
（2）已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的頂點都在球O的球面上，求這個球的體積與正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積之比．

Answer 1

分析：（1）先利用球的表面積計算公式，求得球的半徑即可；
（2）先求正方體的棱長為a和球的半徑為R之間的數量關系，利用體積公式可求出體積之比．

解答：解：（1）設球的半徑為R，依題意：
球的表面積s=4πR²=12π，解得R=

3

故球O的半徑為

3

；
（2）設正方體的棱長為a，球的半徑為R（其中R=

3

）
則

3

a=2R，∴R=

3

2

a，
∴正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積與球O的體積之比為

a3

4 3 π R3

=

a3

4 3 π 3 3 8 a3

=

2

3 π

，
即這個球的體積與正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積之比為

3

π：2．

點評：本題考查了球的表面積計算公式，考查了正方體和球的體積，也考查了空間想象力，要清楚正方體的體對角線就是圓的直徑．