Question

【題目】如圖所示，已知三棱錐P-ABC，∠ACB=90°，CB=4，AB=20，D為AB的中點，且△PDB是正三角形，PA⊥PC.

(1)求證：平面PAC⊥平面ABC.

(2)求二面角D-AP-C的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)詳見解析（2）

【解析】試題分析：(1)在△APB中可證得AP⊥PB，再由條件可證得AP⊥平面PBC，從而得AP⊥BC，又AC⊥BC，AP∩AC=A，故可得BC⊥平面PAC，可得平面PAC⊥平面ABC. (2) 由PA⊥PC，PA⊥PB，可得∠BPC是二面角D-AP-C的平面角，在中，可得即為所求。

試題解析：

(1)因為D是AB的中點，△PDB是正三角形，AB=20，

所以PD=AB=10，

所以AP⊥PB.

又AP⊥PC，PB∩PC=P，

所以AP⊥平面PBC.

又BC平面PBC，

所以AP⊥BC.

又AC⊥BC，AP∩AC=A，

所以BC⊥平面PAC.

又BC平面ABC，

所以平面PAC⊥平面ABC.

(2)因為PA⊥PC，且PA⊥PB，

所以∠BPC是二面角D-AP-C的平面角.

由(1)知BC⊥平面PAC，

則BC⊥PC，

在中，

所以。

所以二面角D-AP-C的正弦值為。