Question

【題目】設集合，若X是的子集，把X中所有元素的和稱為X的“容量”（規定空集的容量為0），若X的容量為奇（偶）數，則稱X為的奇（偶）子集．

（1）寫出S4的所有奇子集；

（2）求證：的奇子集與偶子集個數相等；

（3）求證：當n≥3時，的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（1）.

（2）對于的奇子集，

當時，取；

當時，取，則為的偶子集.

反之，若為的偶子集，

當時，取；

當時，取，則為的奇子集.

的奇子集與偶子集之間建立了一一對應的關系，所以的奇子集和偶子集的個數相等.

（3）對于任意，當時，含的的子集共有個.

由（2）可知，對每個數，在奇子集與偶子集中，所占的個數是相等的；

當時，將（2）中的1換成3即可.可知在奇子集與偶子集中所占的個數是相等的.

則每個元素在奇子集與偶子集中所占的個數相等.

所以Sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和.