Question

已知三棱柱ABC-A1B1

C

1

，底面是正三角形，側(cè)棱和底面垂直，直線B₁C和平面ACC₁A₁成角為30°，則異面直線BC₁和AB₁所成的角為

π

3

．

Answer 1

分析：先將正三棱柱補(bǔ)成一個(gè)四棱柱，再通過(guò)平移將兩條異面直線平移到同一個(gè)起點(diǎn)A，得到的銳角或直角就是異面直線所成的角，在三角形中利用解三角形知識(shí)求出此角即可．

解答：解：如圖先將三棱柱ABC-A1B1

C

1

補(bǔ)成一個(gè)四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁
則其為底面ABCD為菱形的直四棱柱，B₁D₁⊥平面ACC₁A₁，
∴∠B₁CO就是直線B₁C和平面ACC₁A₁成角
∴∠B₁CO=30°
設(shè)底邊長(zhǎng)為a，則在直角三角形B₁OC中，B₁O=

3

2

a，
∴B₁C=

3

a，∴BB₁=

3a2-a2

=

2

a
即側(cè)棱長(zhǎng)為

2

a，
∵BC₁∥AD₁
∴∠D₁AB₁為異面直線BC₁和AB₁所成的角
在三角形D₁AB₁中，三邊長(zhǎng)均為

3

a，∴三角形D₁AB₁為等邊三角形，
∴∠D₁AB₁=

π

3

，
故異面直線BC₁和AB₁所成的角為

π

3

故答案為

π

3

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查異面直線所成的角和直線與平面所成的角的作法、證法、求法，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．