Question

已知點A（0，-2），B（0，4），動點P（x，y）滿足

PA

•

PB

=y²-8．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）設（1）中所求軌跡與直線y=x+b交于C、D兩點，且OC⊥OD（O為原點），求b的值．

Answer 1

（1）∵動點P（x，y）滿足

PA

•

PB

=y²-8，
∴（-x，-2-y）•（-x，4-y）=y²-8，
∴x²+y²-2y-8=y²-8，化為x²=2y．
∴動點P的軌跡方程為x²=2y；
（2）設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．聯立

y=x+b x2=2y

，
化為x²-2x-2b=0，∴△=4+8b＞0．
∴x₁+x₂=2，x₁x₂=-2b．（*）
∵

OC

⊥

OD

，∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（x₁+b）（x₂+b）=0，
化為2x1x2+b(x1+x2)+b2=0，
把（*）代入上式得-4b+2b+b²=0，解得b=0或2．滿足△＞0．
∴b=0或2．