Question

       對于函數f(x)，若存在x₀∈R,使f(x₀)=x₀成立，則稱x₀為f(x)的不動點  已知函數f(x)=ax²+(b+1)x+(b–1)(a≠0)

（1）若a=1,b=–2時，求f(x)的不動點；

（2）若對任意實數b，函數f(x)恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，若y=f(x)圖像上A、B兩點的橫坐標是函數f(x)的不動點，且A、B關于直線y=kx+對稱，求b的最小值.

Answer 1

解析:

（1）當a=1,b=–2時，f(x)=x²–x–3，

由題意可知x=x²–x–3，得x₁=–1,x₂=3.

故當a=1,b=–2時，f(x)的兩個不動點為–1,3.

（2）∵f(x)=ax²+(b+1)x+(b–1)(a≠0)恒有兩個不動點，

∴x=ax²+(b+1)x+(b–1)，

即ax²+bx+(b–1)=0恒有兩相異實根

∴Δ=b²–4ab+4a＞0(b∈R)恒成立.

于是Δ′=(4a)²–16a＜0解得0＜a＜1

故當b∈R，f(x)恒有兩個相異的不動點時，0＜a＜1.

（3）由題意A、B兩點應在直線y=x上，設A(x₁,x₁),B(x₂,x₂)

又∵A、B關于y=kx+對稱.

∴k=–1. 設AB的中點為M(x′,y′)

∵x₁,x₂是方程ax²+bx+(b–1)=0的兩個根.

∴x′=y′=，

又點M在直線上有，

即

∵a＞0，∴2a+≥2當且僅當2a=即a=∈(0,1)時取等號，

故b≥–，得b的最小值–.