Question

已知橢圓的中心為坐標原點,短軸長為2,一條準線的方程為l:x=2.

(1)求橢圓的標準方程.

(2)設(shè)O為坐標原點,F是橢圓的右焦點,點M是直線l上的動點,過點F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于點N,求證:線段ON的長為定值.

 

Answer 1

(1) +y2=1 (2)見解析

【解析】(1)∵橢圓C的短軸長為2,橢圓C的一條準線為l:x=2,

∴不妨設(shè)橢圓C的方程為+y2=1.

∴==2,即c=1.

∴橢圓C的方程為+y2=1.

(2)F(1,0),右準線為l:x=2.設(shè)N(x0,y0),

則直線FN的斜率為kFN=,直線ON的斜率為kON=.

∵FN⊥OM,∴直線OM的斜率為kOM=-.

∴直線OM的方程為y=-x,

點M的坐標為M(2,-).

∴直線MN的斜率為kMN=.

∵MN⊥ON,∴kMNkON=-1.

∴·=-1.

∴+2(x0-1)+x0(x0-2)=0,即+=2.

∴ON=為定值.