Question

拋物線有光學性質: 由其焦點射出的光線經拋物線折射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出，今有拋物線y²=2px(p＞0)  一光源在點M(,4)處，由其發出的光線沿平行于拋物線的軸的方向射向拋物線上的點P，折射后又射向拋物線上的點Q，再折射后，又沿平行于拋物線的軸的方向射出，途中遇到直線l: 2x－4y－17=0上的點N，再折射后又射回點M(如下圖所示)

 (1)設P、Q兩點坐標分別為(x₁,y₁)、(x₂,y₂)，證明：y₁·y₂=－p²；

(2)求拋物線的方程；

(3)試判斷在拋物線上是否存在一點，使該點與點M關于PN所在的直線對稱？若存在，請求出此點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

(1)證明略， (2) y²=4x (3) 拋物線上存在一點(，－1)與點M關于直線PN對稱.

解析:

由拋物線的光學性質及題意知

光線PQ必過拋物線的焦點F(，0)，

設直線PQ的方程為y=k(x－)                           ①

由①式得x=y+,將其代入拋物線方程y²=2px中，整理，得y²－y－p²=0,由韋達定理，y₁y₂=－p²。

當直線PQ的斜率角為90°時，將x=代入拋物線方程，得y=±p,同樣得到y₁·y₂=－p².

(2)解:因為光線QN經直線l反射后又射向M點，所以直線MN與直線QN關于直線l對稱，設點M(，4)關于l的對稱點為M′(x′,y′)，則

解得

直線QN的方程為y=－1,Q點的縱坐標y₂=－1，

由題設P點的縱坐標y₁=4，且由(1)知:y₁·y₂=－p²,則4·(－1)=－p²,

得p=2,故所求拋物線方程為y²=4x。 

(3)解: 將y=4代入y²=4x,得x=4，故P點坐標為(4，4)

將y=－1代入直線l的方程為2x－4y－17=0,得x=,

故N點坐標為(，－1)

由P、N兩點坐標得直線PN的方程為2x+y－12=0,

設M點關于直線NP的對稱點M₁(x₁,y₁)

又M₁(,－1)的坐標是拋物線方程y²=4x的解，故拋物線上存在一點(，－1)與點M關于直線PN對稱.