Question

已知橢圓（）的右焦點為，離心率為.
（Ⅰ）若，求橢圓的方程；
（Ⅱ）設直線與橢圓相交于，兩點，分別為線段的中點. 若坐標原點在以為直徑的圓上，且，求的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）

解析試題分析：（Ⅰ）由已知橢圓的半焦距，又，根據離心率的定義得，則，所以，從而得出所求橢圓的方程為.
（2）根據題意可設點、的坐標分別為、，聯立直線方程與橢圓方程，消去得，則，，因為原點在圓上，所以，根據三角形中位線性質可知四邊形為矩形，所以，又，所以，，因此，即，從而可整理得，又因為，所以，即，從而，所以，因此，解得.（如圖所示）

試題解析：（Ⅰ）由題意得，得.                            2分
結合，解得，.                         3分
所以，橢圓的方程為.                                4分
（Ⅱ）由 得.
設.
所以，                               6分
依題意，，
易知，四邊形為平行四邊形，
所以，                                              7分
因為，，
所以.        8分
即 ，                                 9分
將其整理為 .               10分
因為，所以，.          11分
所以，即.                     13分
考點：1.橢圓方程；2.直線與橢圓；3.向量.