Question

已知函數f(x)=ax+b

1+x2

(x≥0)的圖象經過（0，1），且f(

3

)=2-

3

．
（1）求f（x）的值域；
（2）設命題p，f（m²-m）＜f（3m-4），命題q：函數g(x)=

1

3

x3+

m

2

x2+mx+1在R上無極值，是否存在實數m滿足復合命題p∧q為真命題？若存在，求出m的范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用函數f(x)=ax+b

1+x2

(x≥0)的圖象經過（0，1），且f(

3

)=2-

3

，確定函數的解析式，根據函數的單調性，可求函數的值域；
（2）分別求出p，q為真時，m的范圍，利用p∧q為真命題，即可求得結論．

解答：解：（1）∵函數f(x)=ax+b

1+x2

(x≥0)的圖象經過（0，1），且f(

3

)=2-

3

，
∴b=1，

3

a+2b=2-

3

，∴b=1，a=-1
∴f(x)=-x+

1+x2

(x≥0)
∵f（x）=

1

x+ 1+x2

在[0，+∞）上單調遞減，∴f（x）≤f（0）=1
∴f（x）的值域是（-∞，1]；
（2）命題p：f（m²-m）＜f（3m-4）為真，等價于m²-m＞3m-4≥0，∴m≥

4

3

且m≠2
命題q：函數g(x)=

1

3

x3+

m

2

x2+mx+1在R上無極值為真，等價于函數單調增，
∵g′（x）=x²+mx+m，∴x²+mx+m≥0在R恒成立，∴△=m²-4m≤0，∴0≤m≤4
∵p∧q為真命題
∴

4

3

≤m≤4且m≠2．

點評：本題考查函數的單調性與值域，考查導數知識的運用，考查復合命題，綜合性強．