Question

【題目】在四棱錐中， 與相交于點，點在線段上，，且平面．

（1）求實數的值；

（2）若，, 求點到平面的距離．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】分析：解法一：（1）由平行線的性質可得，結合線面平行的性質定理有．據此可得．

(2) 由題意可知為等邊三角形，則，結合勾股定理可知且，由線面垂直的判斷定理有平面 ，進一步有平面平面．作于，則平面． 即為到平面的距離．結合比例關系計算可得到平面的距離為．

解法二：（1）同解法一．

（2）由題意可得為等邊三角形，所以，結合勾股定理可得且，則平面 ．設點到平面的距離為，利用體積關系：， 即．求解三角形的面積然后解方程可得到平面的距離為．

詳解：解法一：（1）因為,所以即．

因為平面，平面，

平面平面，

所以．

所以，即．

(2) 因為，所以為等邊三角形，所以，

又因為，，所以且，

所以且，又因為，所以

因為平面，所以平面平面．

作于，因為平面平面，所以平面．

又因為平面，所以即為到平面的距離．

在△中，設邊上的高為，則，

因為，所以，即到平面的距離為．

解法二、（1）同解法一．

（2）因為，所以為等邊三角形，所以，

又因為，，所以且，

所以且，又因為，所以平面 ．

設點到平面的距離為，由得，

所以，

即．

因為，，，

所以，解得，即到平面的距離為．