Question

已知函數f(x)=ax2-2

4+2b-b2

•x，g(x)=-

1-(x-a)2

(a， b∈R)．
（1）當b=0時，若f（x）在（-∞，2]上單調遞減，求a的取值范圍；
（2）求滿足下列條件的所有整數對（a，b）：存在x₀，使得f（x₀）是f（x）的最大值，g（x₀）是g（x）的最小值；
（3）對滿足（II）中的條件的整數對（a，b），試構造一個定義在D=x|x∈R且x≠2k，k∈Z上的函數h（x），使h（x+2）=h（x），且當x∈（-2，0）時，h（x）=f（x）．

Answer 1

分析：（1）當b=0時，f（x）=ax²-4x，討論a是否為0，然后根據f（x）在（-∞，2]上單調遞減建立關系式，解之即可求出a的取值范圍；
（2）若a=0，f(x)=-2

4+2b-b2

x，則f（x）無最大值，故a≠0，則f（x）為二次函數，根據f（x）有最大值，建立關系式，然后求出f（x）有最大值時的自變量x₀，最后根據g（x）取最小值時，x₀=a，根據條件建立等式，求出滿足條件的a與b，從而求出所求；
（3）當整數對是（-1，-1），（-1，3）時，f（x）=-x²-2x根據h（x）是以2為周期的周期函數，當x∈（-2，0）時，h（x）=f（x），構造h（x）如下：當x∈（2k-2，2k），k∈Z，則，h（x）=h（x-2k）=f（x-2k）=-（x-2k）²-2（x-2k）即可．

解答：解：（1）當b=0時，f（x）=ax²-4x，（1分）
若a=0，f（x）=-4x，則f（x）在（-∞，2]上單調遞減，符合題意；（3分）
若a≠0，要使f（x）在（-∞，2]上單調遞減，
必須滿足

a＞0  4 2a ≥2

（5分）
∴0＜a≤1．綜上所述，a的取值范圍是[0，1]（6分）
（2）若a=0，f(x)=-2

4+2b-b2

x，則f（x）無最大值，（7分）
故a≠0，∴f（x）為二次函數，
要使f（x）有最大值，必須滿足

a＜0             4+2b-b2≥0

即a＜0且1-

5

≤b≤1+

5

，（8分）
此時，x0=

4+2b-b2

a

時，f（x）有最大值．（9分）
又g（x）取最小值時，x₀=a，（10分）
依題意，有

4+2b-b2

a

=a∈Z，則a2=

4+2b-b2

=

5-(b-1)2

，（11分）
∵a＜0且1-

5

≤b≤1+

5

，∴0＜a2≤

5

(a∈Z)，得a=-1，（12分）
此時b=-1或b=3．
∴滿足條件的整數對（a，b）是（-1，-1），（-1，3）．（13分）
（3）當整數對是（-1，-1），（-1，3）時，f（x）=-x²-2x∵h（x+2）=h（x），
∴h（x）是以2為周期的周期函數，（14分）
又當x∈（-2，0）時，h（x）=f（x），構造h（x）如下：當x∈（2k-2，2k），k∈Z，則，h（x）=h（x-2k）=f（x-2k）=-（x-2k）²-2（x-2k），
故h（x）=-（x-2k）²-2（x-2k），x∈（2k-2，2k），k∈Z．（16分）

點評：根據開口方向和對稱軸建立關系式是解決二次函數的單調性的關鍵，同時考查了函數的周期性和函數的最值及其幾何意義，涉及的知識點較多，是一道綜合題．