Question

在無窮數列中，，對于任意，都有，. 設， 記使得成立的的最大值為.
（1）設數列為1，3，5，7，，寫出，，的值；
（2）若為等差數列，求出所有可能的數列；
（3）設，，求的值.（用表示）

Answer 1

（1），，；（2）；（3）．

試題分析：（1）根據使得成立的的最大值為，，則，，則，，則，這樣就寫出，，的值；（2）若為等差數列，先判斷，再證明，即可求出所有可能的數列；（3）確定，，依此類推，發現規律，得出，從而求出的值．
（1） ，，.                                       3分
（2）由題意，得，
結合條件，得.                                       4分
又因為使得成立的的最大值為，使得成立的的最大值為，
所以，.                                     5分
設，則.
假設，即，
則當時，；當時，.
所以，.
因為為等差數列，
所以公差，
所以，其中.
這與矛盾，
所以.                                                     6分
又因為，
所以，
由為等差數列，得，其中.                          7分
因為使得成立的的最大值為，
所以，
由，得.                                              8分
（3）設，
因為，
所以，且，
所以數列中等于1的項有個，即個；                 9分
設，
則， 且，
所以數列中等于2的項有個，即個；                 10分
以此類推，數列中等于的項有個.                  11分
所以


.
即.                                  13分