Question

如圖，梯形ABCD和正△PAB所在平面互相垂直，其中AB∥DC，AD=CD=

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AB，且O為AB中點．
（I）求證：BC∥平面POD；
（II）求證：AC⊥PD．

Answer 1

證明：（I）因為O為AB中點，
所以BO=

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AB，（1分）
又AB∥CD，CD=

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AB，
所以有CD=BO，CD∥BO，（2分）
所以ODCB為平行四邊形，
所以BC∥OD，（3分）
又DO?平面POD，BC?平面POD，
所以BC∥平面POD．（5分）
（II）連接OC．
因為CD=BO=AO，CD∥AO，
所以ADCO為平行四邊形，（6分）
又AD=CD，所以ADCO為菱形，
所以AC⊥DO，（7分）
因為正三角形PAB，O為AB中點，
所以PO⊥AB，（8分）
又因為平面ABCD⊥平面PAB，平面ABCD∩平面PAB=AB，
所以PO⊥平面ABCD，（10分）
而AC?平面ABCD，所以PO⊥AC，
又PO∩DO=O，所以AC⊥平面POD．（12分）
又PD?平面POD，所以AC⊥PD．（13分）