Question

如圖一，平面四邊形關于直線對稱，．
把沿折起（如圖二），使二面角的余弦值等于．對于圖二，
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）證明：平面；
（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

（1）
（2）略
（3）

解：（Ⅰ）取的中點，連接，
由，得：                                      
就是二面角的平面角，……………………2分
在中，
 ………………………………………4分                                                                                                                    
（Ⅱ）由，
 
，  又平面．………………8分
（Ⅲ）方法一：由（Ⅰ）知平面平面
∴平面平面平面平面，
作交于，則平面，
就是與平面所成的角．……12分
方法二：設點到平面的距離為，
∵             
 于是與平面所成角的正弦為  ．
方法三：以所在直線分別為軸，軸和軸建立空間直角坐標系，
則．
設平面的法向量為，則
， ，
取，則， 于是與平面所成角的正弦即
．