（本題滿分18分；第（1）小題5分，第（2）小題5分，第（3）小題8分）
設數列
是等差數列，且公差為
，若數列
中任意（不同）兩項之和仍是該數列中的一項，則稱該數列是“封閉數列”.
（1）若
，求證：該數列是“封閉數列”；
（2）試判斷數列
是否是“封閉數列”，為什么？
（3）設
是數列的前
項和，若公差
，試問：是否存在這樣的“封閉數列”，使
；若存在，求的通項公式，若不存在，說明理由.
略
（1）證明：
，----------------------
----------------------1分
對任意的
，有
，---------------------------------------------3分
于是
，令
，則有
-------------------------5分（2）
，---------------------------------------------------------7分
令
，-----------------------------------------9分
所以數列
不是封閉數列；---------------------------------------------------10分
（3）解：由
是“封閉數列”，得：對任意，必存在
使
成立，----------------------------------------------------11分
于是有
為整數，又
是正整數。-------------------------------13分
若
則
，所以
，-----------------------14分
若
，則
，所以
，------------------------16分
若
，則
，于是
，所以
，------------------------------------------17分
綜上所述，
，顯然，該數列是“封閉數列”。---------------- 18分
科目：高中數學 來源： 題型：
（本題滿分18分，第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題8分）
在平行四邊形
中，已知過點
的直線與線段
分別相交于點
。若
。
（1）求證：
與
的關系為
；
（2）設
，定義函數
，點列
在函數
的圖像上，且數列
是以首項為1，公比為
的等比數列，
為原點，令
，是否存在點
，使得
？若存在，請求出
點坐標；若不存在，請說明理由。
（3）設函數
為
上偶函數，當
時
，又函數圖象關于直線
對稱， 當方程
在
上有兩個不同的實數解時，求實數
的取值范圍。
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科目：高中數學 來源：2012屆上海市崇明中學高三第一學期期中考試試題數學 題型：解答題
（本題滿分18分，第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題8分）
對于數列
，如果存在一個正整數
，使得對任意的
（
）都有
成立，那么就把這樣一類數列稱作周期為的周期數列，的最小值稱作數列的最小正周期，以下簡稱周期。例如當
時是周期為
的周期數列，當
時
是周期為
的周期數列。
（1）設數列
滿足
（），
（
不同時為0），且數列是周期為
的周期數列，求常數
的值；
（2）設數列的前項和為
，且
．
①若
，試判斷數列是否為周期數列，并說明理由；
②若
，試判斷數列是否為周期數列，并說明理由；
（3）設數列滿足
（），
，
，
，數列
的前項和為，試問是否存在
，使對任意的都有
成立，若存在，求出的取值范圍；不存在， 說明理由；
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科目：高中數學 來源：2011-2012學年上海市高三第一學期期中考試試題數學 題型：解答題
（本題滿分18分，第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題8分）
對于數列
，如果存在一個正整數
，使得對任意的
（
）都有
成立，那么就把這樣一類數列稱作周期為的周期數列，的最小值稱作數列的最小正周期，以下簡稱周期。例如當
時是周期為
的周期數列，當
時
是周期為
的周期數列。
（1）設數列
滿足
（），
（
不同時為0），且數列是周期為
的周期數列，求常數
的值；
（2）設數列的前項和為
，且
．
①若
，試判斷數列是否為周期數列，并說明理由；
②若
，試判斷數列是否為周期數列，并說明理由；
（3）設數列滿足
（），
，
，
，數列
的前項和為，試問是否存在
，使對任意的都有
成立，若存在，求出的取值范圍；不存在，
說明理由；
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科目：高中數學 來源：2011-2012學年上海市十三校高三上學期第一次聯考試題文科數學 題型：解答題
(本題滿分18分，第1小題滿分5分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分)
已知函數
，其中
.
(1)當
時，設
，
，求
的解析式及定義域；
(2)當，
時，求
的最小值；
(3)設
，當
時，
對任意
恒成立，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源：2010年上海市徐匯區高三第二次模擬考試數學卷（文） 題型：解答題
（本題滿分18分；第（1）小題5分，第（2）小題5分，第（3）小題8分）
設數列
是等差數列，且公差為
，若數列
中任意（不同）兩項之和仍是該數列中的一項，則稱該數列是“封閉數列”.
（1）若
，求證：該數列是“封閉數列”；
（2）試判斷數列
是否是“封閉數列”，為什么？
（3）設
是數列的前
項和，若公差
，試問：是否存在這樣的“封閉數列”，使
；若存在，求的通項公式，若不存在，說明理由.
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