Question

觀察下列幾個三角恒等式：
①tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=1；
②tan5°tan100°+tan100°tan（-15°）+tan（-15°）tan5°=1；
③tan13°tan35°+tan35°tan42°+tan42°tan13°=1．
一般地，若tanα，tanβ，tanγ都有意義，你從這三個恒等式中猜想得到的一個結論為

當α+β+γ=90°時，tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1

．試證明結論．

Answer 1

分析：觀察所給的4個等式，發現左邊都是兩個角的正切的乘積形式，一共有三項，且三個角的和為定值：直角，右邊的值都為常數1，由此可得結論，再利用和角的正切公式進行證明即可．

解答：解：觀察所給的4個等式可得：
若角α，β，γ滿足α+β+γ=90°，且tanα，tanβ，tanγ都有意義，則tanαtanβ+tanβtanγ+tanαtanγ=1．
證明如下：∵α+β+γ=90°，∴α+β=90°-γ
∴tan（α+β）=tan（90°-γ）
∴

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

1

tanγ

∴tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1
故答案為：當α+β+γ=90°時，tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1

點評：本題考查歸納推理，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎題．