Question

已知點(diǎn)，圓:，過點(diǎn)的動(dòng)直線與圓交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求的軌跡方程；
(2)當(dāng)時(shí)，求的方程及的面積

Answer 1

（1）;（2）的方程為; 的面積為.

試題分析：（1）先由圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的轉(zhuǎn)化可將圓C的方程可化為，所以圓心為，半徑為4，根據(jù)求曲線方程的方法可設(shè)，由向量的知識(shí)和幾何關(guān)系：，運(yùn)用向量數(shù)量積運(yùn)算可得方程：;（2）由第（1）中所求可知M的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，加之題中條件，故O在線段PM的垂直平分線上，又P在圓N上，從而，不難得出的方程為;結(jié)合面積公式可求又的面積為.
試題解析：（1）圓C的方程可化為，所以圓心為，半徑為4，
設(shè)，則，，
由題設(shè)知，故，即.
由于點(diǎn)P在圓C的內(nèi)部，所以M的軌跡方程是.
（2）由（1）可知M的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓.
由于，故O在線段PM的垂直平分線上，又P在圓N上，從而.
因?yàn)镺N的斜率為3，所以的斜率為，故的方程為.
又，O到的距離為，，所以的面積為.