Question

先解答（Ⅰ），再通過結構類比解答（Ⅱ）：
（Ⅰ）求證：tan(x+

π

4

)=

1+tanx

1-tanx

；
（Ⅱ） 設x∈R且f（x+π）=

1+f(x)

1-f(x)

，試問：f（x）是周期函數嗎？證明你的結論．

Answer 1

分析：（I）根據兩角和的正切公式，把所給的等式的右邊展開，利用特殊角的三角函數最后得到和右邊的式子相等，等式得證．
（II）根據正切函數的周期性的證明方法，類比推理到抽象函數的周期性的證明方法，兩次應用所給的等式．

解答：（Ⅰ）證明：tan(x+

π

4

)=

tanx+tan π 4

1-tanxtan π 4

=

1+tanx

1-tanx

．
（Ⅱ）解：f（x）是以4π為其一個周期的周期函數．
f(x+2π)=f(x+π+π)=

1+f(x+π)

1-f(x+π)

=

1+ 1+f(x) 1-f(x)

1- 1+f(x) 1-f(x)

=-

1

f(x)

，
∴f(x+4π)=f[(x+2π)+2π]=-

1

f(x+2π)

=-

1

- 1 f(x)

=f(x)，
所以f（x）是周期函數，其中一個周期為4π．

點評：本題考查兩角和的正切公式和類比推理，本題解題的關鍵是掌握類比推理的一般步驟首先找出兩類事物之間的相似性或一致性，再根據一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題，本題是一個中檔題目．