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精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
已知A（-3，0），B（3，0）．若△ABC周長為16．
（1）求點C軌跡L的方程；
（2）過O作直線OM、ON，分別交軌跡L于M、N點，且OM⊥ON，求S△MON的最小值；
（3）在（2）的前提下過O作OP⊥MN交于P點．求證點P在定圓上，并求該圓的方程．
（1）由已知：|AC|+|BC|+|AB|=16
∴|AC|+|BC|=10
∴a=5，c=3
∴b2=a2-c2=16
∴點C的軌跡為：
x2
25
+
y2
16
=1(y≠0)
（2）顯然OM，ON斜率均存在．設OM：y=kx，則ON：y=-
1
k
x
聯立OM與L可知：
x2
25
+
k2x2
16
=1⇒x2=
1
1
25
+
k2
16

∴|OM|=
1+k2
•|x|=
1+k2
1
25
+
k2
16
同理|ON|=
1+
1
k2
1
25
+
1
16k2
=
1+k2
1
25
k2+
1
16

∴S△MON=
1
2
|OM|•|ON|=
1
2
(1+k2)2
(
1
25
+
k2
16
)(
k2
25
+
1
16
)
≥
1
2
•
1+k2
1
25
+
k2
16
+
k2
25
+
1
16
2
=
400
41

當且僅當：
1
25
+
k2
16
=
k2
25
+
1
16
時取“=”即k=±1時取“=”
∴S△MON的最小值為
400
41

（3）由已知：|MN|=
|OM|2+|ON|2
=
1+k2
1
25
+
k2
16
+
1+k2
k2
25
+
1
16

∴|OP|=
|OM|•|ON|
|MN|
=
1+k2
1
25
+
k2
16
•
1+k2
1
25
k2+
1
16
1+k2
1
25
+
k2
16
+
1+k2
k2
25
+
1
16
=
400
41
=
20
41
41

∴點P一定在定圓x2+y2=
400
41
上．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的左、右焦點坐標分別是(-
2
，0)，(
2
，0)，離心率是
6
3
，直線y=t橢圓C交與不同的兩點M，N，以線段為直徑作圓P，圓心為P．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若圓P與x軸相切，求圓心P的坐標；
（Ⅲ）設Q（x，y）是圓P上的動點，當T變化時，求y的最大值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
3
，直線l：y=x+2與圓x2+y2=b2相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線l與橢圓C的交點為A，B，求弦長|AB|．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

橢圓E的中心在原點O，焦點在x軸上，離心率e=
2
3
，過點C（-1，0）的直線l交橢圓于A、B兩點，且滿足：
CA
=λ
BC
（λ≥2）．
（1）若λ為常數，試用直線l的斜率k（k≠0）表示三角形OAB的面積；
（2）若λ為常數，當三角形OAB的面積取得最大值時，求橢圓E的方程；
（3）若λ變化，且λ=k2+1，試問：實數λ和直線l的斜率k（k∈R）分別為何值時，橢圓E的短半軸長取得最大值？并求出此時的橢圓方程．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

設橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A（-
2
，0）、B（
2
，0），離心率e=
2
2
．過該橢圓上任一點P作PQ⊥x軸，垂足為Q，點C在QP的延長線上，且|PC|=（
2
-1）|PQ|．
（1）求橢圓的方程；
（2）求動點C的軌跡E的方程；
（3）設直線MN過橢圓的右焦點與橢圓相交于M、N兩點，且|MN|=
8
2
7
，求直線MN的方程．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知點A（1，1）是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一點，F1，F2是橢圓的兩焦點，且滿足|AF1|+|AF2|=4．
（I）求橢圓的標準方程；
（II）求過A（1，1）與橢圓相切的直線方程；
（III）設點C、D是橢圓上兩點，直線AC、AD的傾斜角互補，試判斷直線CD的斜率是否為定值？若是定值，求出定值；若不是定值，說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C過點P（1，
3
2
），兩個焦點分別為F1（-1，0），F2（1，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點F1的直線交橢圓于A、B兩點，求線段AB的中點的軌跡方程．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

直線L：
x
4
+
y
3
=1與橢圓E：
x2
16
+
y2
9
=1相交于A，B兩點，該橢圓上存在點P，使得△PAB的面積等于3，則這樣的點P共有（　　）
A．1個B．2個C．3個D．4個

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

已知直線y=kx-1與雙曲線x2-y2=4沒有公共點，則實數k的取值范圍為______．

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同步練習冊答案
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