Question

已知函數(shù)．
(1)若直線(xiàn)與的反函數(shù)的圖象相切，求實(shí)數(shù)k的值;
(2)設(shè)，討論曲線(xiàn)與曲線(xiàn)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(3)設(shè)，比較與的大小，并說(shuō)明理由．

Answer 1

(1)
(2)見(jiàn)解析；
(3)

(1)的反函數(shù)為．
設(shè)直線(xiàn)與的圖象在處相切，則
，解得．
(2)曲線(xiàn)與的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)等于曲線(xiàn)與y=m的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)．
令，則，∴．
當(dāng)時(shí)，，在(0，2)上單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí)，，在(2，+∞)上單調(diào)遞增，
∴在(0，+∞)上的最小值為．
當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)與y=m無(wú)公共點(diǎn);
當(dāng)，曲線(xiàn)與y=m恰有一個(gè)公共點(diǎn);
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間(0，2)內(nèi)存在，使得，在(2，+∞)內(nèi)存在，使得．
由的單調(diào)性知，曲線(xiàn)與y=m在(0，+∞)上恰有兩個(gè)公共點(diǎn)．
綜上所述，當(dāng)x>0時(shí)，
若，曲線(xiàn)與沒(méi)有公共點(diǎn);
若，曲線(xiàn)與有一個(gè)公共點(diǎn);
若，曲線(xiàn)與有兩個(gè)公共點(diǎn)．

(3)解法一:可以證明．事實(shí)上，


．(*)
令，
則，
(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立)，
∴在[0，+∞)上單調(diào)遞增，
∴時(shí)，．
令，即得(*)式，結(jié)論得證．
解法二:

，
設(shè)函數(shù)，
則，
令，則(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立)，
∴單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x>0時(shí)，，∴單調(diào)遞增．
當(dāng)x>0時(shí)，u(x)>u(0)=0．
令，得，
∴，
因此，．